Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях
Диссертация
Автор: Подкуйко, Максим Сергеевич
Название: Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях
Справка: Подкуйко, Максим Сергеевич. Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 Стерлитамак, 2006 110 c. : 61 07-1/58
Объем: 110 стр.
Информация: Стерлитамак, 2006
Содержание:
Глава 1 Существование «в малом» но времени и единственностьрешений краевых задач для уравнений одномерного вязкогогаза
§11 Постановка задач
§12 Теоремы существования решения задач «в малом» но времени
§13 Теоремы единственности
Глава 2 Анриорные оценки и разрешимость «в целом» по вре-мени в пространствах Соболева
§21 Краевая задача с однородными граничными условиями для ско-рости
§22 Задача истечения газа из области
§23 Задача нротекания газа через область
Глава 3 Существование «в целом» но времени задач для системыуравнений Навье-Стокса в нространствах Гёльдера
§31 Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными гра-ничными условиями для скорости
§32 Глобальная разрешимость задачи истечения газа из области
§33 Глобальная разрешимость задачи протекания газа через область
Введение:
Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа илисистема уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важныйкласс систем дифференциальных уравнений в частных производных [7], [33].В теории таких систем одной пз центральных является проблема однозначнойразрешимости «в целом» как по времени, так и по данным (без каких-либотребований их малости).Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системыуравнений Навье-Стокса началось в 1959 году с работы Дж. Серрина |56|.В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких репхений. Отметим также болеераннюю статью Д. Граффи [42] о единственности классических решений длябаротроппого газа.Первый результат по разрешимости для уравпений Навье-Стокса получилв 1962 г. Дж. Нэш [53]. Он доказал суш;ествование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методамибыл повторен и обобш;ен в работах Н. Итая [43], А.И. Вольперта и С И . Худяева [17].Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы суш;ествованияи единственности установлены В.А. Солонниковым [34] и А. Тани [58].Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса «в пелом» повремени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя,т. е. «в малом» но данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Нишидой[51], [52].Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» но времени и ноданным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем [28] в случае задачи Коши дляуравнений одномерного движения вязкого баротронного газа [р = Rp^). Длямодели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевыхзадач была доказана в работах Н. Итая [44], [45] и А. Тани [59].В 1976 г. А.В. Кажихов [21] виервые иолучил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого тенлонроводного газа.В дальнейшем цикл работ А.В. Кажихова [22] - [26], [49], В.В. Шелухина [26],[35] - [37], [49] позволил построить довольно нолную теорию но глобальнойразрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.Данные исследования легли в основу монографии [7, гл. 2], в которой изложены результаты о суш,ествовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из Wg (^)'Теорема об устойчивости таких решений в сильной норме содержится в работек.А. Амосова [1].В работах А.А. Амосова и А.А. Злотника получено суш,ествование «в целом» (слабых) обобш;енных решений указанных задач при начальных данныхиз Lqu) с некоторыми q [3], [4]. При несколько более жестких условиях на начальные данные в [3] установлена единственность и устойчивость обобщенныхрешений. Волее ранний результат об устойчивости имеется в работе М. Падулы [54].Пеобходнмо отметить также работы А.А. Амосова и А.А. Злотника дляуравнений движения вязкого баротропного газа в случае негладких начальных данных [5], [6]. Для вязкого теплопроводного газа в случае разрывныхначальных данных отметим работы этих же авторов [18], [19], X. ФуджитыЯшимы, А. Новотны, М. Падулы [46] и Г.-К. Чека, Д. Хоффа, К. Тривисы[40]. В работе [2] А.А. Амосовым нолучен результат о сун1,ествовании глобальных обобщенных решений для вязкого реального газа нри весьма произвольных больших разрывных начальных данных специальным полудискретнымметодом. Известны работы В.А. Вайганта, А.В. Кажихова [14] - [16], Е.В. Лукиной [31], М. Падулы [55], Д. Хоффа [47], Г.-К. Чена, М. Кратки [41] но локальной и глобальной разрешимости задач для уравнений многомерного движения вязкого газа. Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного или теплопроводного)посвящены работы Я. Белова [8] - [10] и В.А. Вайганта [11]. Как правило, в описанных выше работах область, в которой доказывается существование решения «в целом» но времени, является либо нолосойx,t)\ - с х ) < х < с х ) , о < t < Г, либо цилиндром x,t)\ а < X < b, О В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических убывающих по времени областях x,t)\ О < х < s(i), О < t < Г, где х = s0 < х < st), О < i; < Т. Область Пу занята вязким теилоироводным газом и ж = s(t) - известная гладкая функция. Изучается случай, когда область сужается со временем, то естьds{t)/dt < 0. Здесь p{x,t)^ u{x^t), p{x^t) и e{x,t) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; iJ,,R,x- положительные константы;вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно. Уравнения (0.1) - (0.3) представляют собой весьма сложную систему дис|)ференциальных уравнений в частных производных: уравнения имнульса (0.2)и энергии (0.3) являются иараболическими относительно искомых функцийiL{x,t) И 9{x,t), а уравнение неразрывности (0.1) можно трактовать как уравнение первого порядка относительно нлотности p{x,t). В области пт для системы (0.1) (0.3) ставятся следующие краевые задачи. Задача Go- Найти функции p{x,t),u{x,t),e{x,t), удовлетворяющие сист,еме 'уравнений (0.1) - (0.3); если в начальный момент и на границах выполняются условия), xe[O,so], (0.4)(0.6)(0.7)Здесь и впоследствии SQ = s(0). Под условием (0.7) понимается, что газ «прилипает» к границе х = 0. Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования; (0.9),(0.11), (0.12) и(0.15), (0.16). (0.17)Задача G2. Найти функции p{x,t),u{x,t),e{x,t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент, и на границах выполняются условия (0.4) - (0.6) и(0.18)(0.19)Условия (0.18) и (0.19) означают, что газ втекает в область через границу з; = Ос заданной нлотностью pi [t]. Во всех рассматриваемых задачах u(s(i),t) = O,ds{t)/dt О, и газ может вытекать через границу области х — s{t). В итогемы исследуем задачи протекания через области с подвижными границами. Исследование проводится в эйлеровых переменных. Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоитиз трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. В главе 1 установлены: существование решений поставленных задач длясистемы (0.1) - (0.3) «в малом» по времени и единственность решений поставленных задач в области 0,т- Для доказательства существования локальныхрешений задач Go - G2 применяется теорема Тихонова-Шаудера. В §1.2 доказаны следующие теоремы существования локальных решенийпоставленных задач в классах Гёльдера. Теорема 0.1. Пуеть начальные и краевые данные задачи GQ принадлежат,11пространством Гёльдераuo(a;)GC2 -([O,so]), во{х) е C' -{[O,so]),0 О в ut^. Теорема 0.2. Пусть начальные и краевые данные задачи Gi принадлеэюатпространствам Гёльдерар,{х) 6 С1 "([0, so]), щ{х) е С2 -([0, so]), 0,{х) Е С2 -([0, so]),s{t),u,{t), Oiit), ^2(i)GC(2 ")/2([0,r]),о < a = const О, что выполнены(0.26), причем p{x,t)^ e{x,t) - строго полоо^юительные функции в ut^. Теорема 0.3. Пусть начальные и краевые данные задачи G^ принадлеоюат,пространствам Гёльдера, щ{х) е C2 "([O,so]), 9о{х) е C2 -([O,so]),0 Ова^, . В §1.3 получены теоремы единственности решений поставленных задач вобласти пт12Теорема 0.4. Классическое решение задачи Go, описанное в теореме 0.1,единственно. Теорема 0.5. Классическое решение задачи Gi, описанное в теореме 0.2,единственно. Теорема 0.6. Классическое решение задачи G2, описанное в т^еореме 0.3,единственно. Метод доказательства теорем 0.4-0.6 нозволяет говорить о единственностиклассических решений задач Go - G2 не только для малых t*, но и для всейобласти, где они существуют, а также о единственности обобш,енных решенийзадач Go ^ G2Глава 2 носвяш,ена доказательству глобального суш;ествования и единственности обобщенного в 0^ решений задач Go - G2 для системы (0.1) (0.3). Единственность обобщенных решений поставленных задач следует изметода доказательства теорем 0.4 - 0.6 из главы 1. Основную роль нри доказательствах теорем играют глобальные анриорные оценки, причем центральными из них являются оценки ограниченностиплотности и температуры. Вывод этих оценок базируется на вспомогательныхсоотношениях и леммах. В заключительной части доказываются оценки дляпроизводных от искомых функций. При получении оценок на функции p{x^t)^ u{x,t), 0{x^t) в области, занятой вязким газом, используем методы, разработанные В.А. Вайгантом [И]. Заметим, что в [И] область, занятая газом, является прямоугольником (0,1) х(0,Т), а в данной диссертационной работе область, занятая газом, являетсякриволинейной трапецией пт = {{x,t)\ О < х < s{t), О О, зависящие отначальных, граничных данных и Т, такие, чтоmin p{x,t) >mi, max p{x,t) О, M2 > О, зависящие отданных задачи и Т, такие, чтоmin 9(хЛ) > т2, max 9(x,t) < М2.В §2.1 приведено доказательство теоремы глобального существования иединственности обобш;енного решения задачи Go для системы (0.1) - (0.3) вобласти пт14Теорема 0.7. Пусть данные задачи Go удовлет^воряют, условиям гладкостии условиям, согласованияЕсли выполнены условия (0.21), (0.22), то существует единственное обобщенное решение задачи GQ, причем p{x,t) и e{x,t) - старого положительныеи ограниченные функции.Так как в главе 1 доказаны теоремы 0.1 - 0.3 существования локальныхклассических решений, то существование обобщенных решений ноставленныхзадач Go - G2 «в малом» но времени строится как предел уже существующихгладких решений. Доказательство «в целом» но времени связано с нолучением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от начальных играничных данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят отпромежутка существования локального решения.В §2.2 доказана теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Gi «в целом» по времени в области ОтТеорема 0.8. Пусть начальные и граничные данные задачи Gi удовлетворяют условиям, гладкостии условиям согласованиящ{0) = гл(О), щ{зо) = О,Если вы/полнены условия (0.21) - (0.23), то существует единственное обобт^енпое решение задачи Gi, причем p{x,t) и 9[x,t) - строго положительныеи ограниченные функции.15в §2.3 установлена однозначная глобальная разрешимость задачи G2 длясистемы (0.1) - (0.3) в области пт в нространствах Соболева.Теоремк 0.9. Пусть данные задачи G2 удовлетворяют условиям гладкостиРо,^ о) ? W^iO, So), {щ,ри 01, ^ 2) е Wi{0,Т)и условиям согласованиящ{0) = иг{0), щ{зо) = О,Если выполнены условия (0.21), (0.22) и (0.24)^ то существует единственноеобобщенное решение задачи G2, причем р[х, t) и 9{х, t) - строго положительные и ограниченные функции.В главе 3 установлены априорные оценки в классах Гёльдера, и на ихоснове доказаны теоремы существования и единственности решений задач Go G2 в области птСледуюш,ие априорные оценки нолучены для всех поставленных задач.Теорема 0.10. Пусть начальные и краевые данные задачи GQ принадлежат пространствам Гёльдера (0.25), выполнены условия (0.8) - (0.13),16(0.21), (0.22). Тогда задача GQ имеет единственное классическое решение,обладаю'ш^е свойствамиp{x,t) е С1 "(Пг), u{x,t), e{x,t) е С2 «'(2 ")/2(Пт),О < mi < р{х, t)
var container = document.getElementById('nativeroll_video_cont');
if (container) {
var parent = container.parentElement;
if (parent) {
const wrapper = document.createElement('div');
wrapper.classList.add('js-teasers-wrapper');
parent.insertBefore(wrapper, container.nextSibling);
}
}
|