Устранимые особенности решений эллиптических уравнений
Диссертация
Автор: Покровский, Андрей Владимирович
Название: Устранимые особенности решений эллиптических уравнений
Справка: Покровский, Андрей Владимирович. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений : диссертация доктора физико-математических наук : 01.01.01 / Покровский Андрей Владимирович; [Место защиты: Московский государственный университет] - Москва, 2009 - Количество страниц: 178 с. Москва, 2009 178 c. :
Объем: 178 стр.
Информация: Москва, 2009
Содержание:
1 Устранимые особенности обобщенных решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме
11 Вспомогательные результаты
12 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами в классах функций с первыми обобщенными производными
13 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с непрерывными коэффициентами в классах Гельдера
14 L-гармоническая мера и функция Грина для линейного равномерно эллиптического оператора второго порядка в дивергентной форме
15 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах непрерывных функций
16 Эквивалентное определение обобщенных решений уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами
17 Связь между классами W?(G)\0C и Ul a(G)\oc Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме
21 Определения и предварительные сведения
22 Устранимые особенности слабых решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами
23 Доказательство теоремы
24 Устранимые особенности слабых решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах Гельдера-Зигмунда
25 Эквивалентное определение слабых решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме
26 Устранимые особенности слабых решений уравнений с коэффициентами, непрерывными по Дини118 Устранимые особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка
31 Формулировки теорем об устранимых особенностях ^-гармонических функций з
32 Вспомогательные результаты о р-гармонических функциях
33 Доказательство теоремы
34 Доказательство теоремы
35 Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а
36 Обобщение теоремы об устранимых особенностях решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а
4 Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами *'
Введение:
Задачи о продолжении решений дифференциальных уравнений с частными производными традиционно привлекают внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимает задача об устранимых особенностях решений дифференциального уравнения в заданном множестве функций (функциональном классе). Рассмотренная впервые для аналитических и гармонических функций (т.е. для решений уравнения Коши-Римана и решений уравнения Лапласа) в теории функций одного комплексного переменного, эта задача может быть сформулирована в общем виде следующим образом.Первая теорема о стирании особенностей была получена Риманом. В своей докторской диссертации (1851, см. [43] и комментарии в [22]) он установил устранимость изолированной особой точки ZQ для гармонической функции двух действительных переменных при условии, что модуль ее градиента ведет себя при z —> ZQ как o(\z — ^о| - 1)- В этой же работе он сформулировал теорему о стирании особенностей, расположенных на дуге кривой, на которой функция непрерывна и в окрестности которой она аналитична (голоморфна). Риман не привел строгого доказательства этого утверждения, которое без дополнительных ограничений на дугу может оказаться и неверным.Однако, как показал П. Пенлеве [101] (1888), оно справедливо при условии спрямляемости дуги, которое, по-видимому, неявно подразумевалось Риманом. Этот результат является частным случаем доказанной П. Пенлеве более общей теоремы об устранимости компактов с конечной длиной по Хаусдорфу для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на множество своих особенностей. Другим важным результатом, который был установлен в упомянутой работе П. Пенлеве, была устранимость компактов с нулевой длиной (по Хаусдорфу) для ограниченных голоморфных функций.В обратном направлении, А. Данжуа [70] показал неустранимость для ограниченных голоморфных функций компактов положительной длины, расположенных на прямой. П. Пенлеве предполагал, что всякий всюду разрывный компакт К (т.е. компакт, содержащий лишь одноточечные компоненты связности) устраним для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на К, но эта гипотеза была опровергнута Д. Помпейю [103], построившим пример всюду разрывного компакта К С ?• с положительной площадью и непрерывной и ограниченной в С непостоянной функции f(z), голоморфной в С \ К. Однако, оригинальное доказательство Помпейю содержало пробел, устраненный в 1909 г. А. Данжуа [69].Существенное продвижение в изучении устранимых множеств для голоморфных функций одного комплексного переменного произошло на рубеже 1950-60 гг.С одной стороны, в 1959 г. А. Г. Витушкин [2] построил пример компакта К, устранимого для ограниченных голоморфных функций, который имеет положительную линейную меру Хаусдорфа. Более простой пример такого компакта предложили позднее Л.Д.Иванов (см. [11]) и независимо Дж. Гарнетт [74].Отличительной особенностью этих примеров является то, что для почти каждой прямой /, проходящей через начало координат О, линейная мера Лебега проекции К на I равна нулю, или, в других терминах, компакт К имеет нулевую меру Фавара. В связи с этим в начале 1960-х гг. А. Г. Витушкин высказал гипотезу о том, что устранимость компакта для ограниченных голоморфных функций равносильна равенству нулю его меры Фавара. Эта гипотеза в значительной степени определила дальнейшее направление исследований, связанное с названной именем Пенлеве проблемой описания компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, и привела к формированию в 1990-х гг. понятия кривизны меры (М. Мельников), в терминах которого Х.Толса [112] получил в 2001г. решение этой проблемы. Не приводя формулировки теоремы Толсы и результатов, непосредственно предшествовавших ей (см. [102, 95, 23]), отметим, что гипотеза Витушкина подтвердилась для компактов с конечной длиной (Г.Давид [66]), а в общем случае ответ на нее отрицательный (П. Маттила, 1986).С другой стороны, в 1961г. Е. П.Долженко (см. [7]) показал, что множество Е, замкнутое относительно содержащей ее области G С С, устранимо для решений однородного уравнения Коши-Римана в классе функций, удовлетворяющих в G условию Гельдера с показателем а Е (0, 1), тогда и только ю тогда, когда хаусдорфова мера Е порядка 1 а равняется нулю: mes1 aE = 0. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений дифференциального уравнения с частными производными были охарактеризованы в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил значительное развитие.В дальнейшем Е всегда обозначает непустое подмножество области G С Mn, Е ф G, замкнутое относительно этой области, т.е. такое, что множество G\E открыто.Сформулированный выше результат Е. П. Долженко об устранимых особенностях голоморфных функций справедлив и при а = 1: достаточность условия mes2E = 0 была доказана для этого случая в [7], а необходимость установлена в 1977 г. Н. X. Уи [115,116] (более простое доказательство было предложено позднее С В . Хрущевым [53], см. также [47]). В классе Зигмунда подобная характеризация уже невозможна: как показали X. Кармона и Х.Донэр [65] из равенства нулю хаусдорфовой меры meSgK компакта К С С относительно измеряющей функции g(t) •= t2 л/log log log (1/t), 0 < t < exp(—ee), вытекает его устранимость для голоморфных функций в классе Z(C), при этом существует неустранимый компакт К\ с mes^i^i < сю и устранимый K 2, функции и Е C(G), равной нулю на всюду разрывном компакте К С G, гармонической в G \ К, и такой, что интеграл от ее нормальной производной равен нулю по любой замкнутой гладкой гиперповерхности, не пересекающей К. Этот результат обобщает теорему В. Федорова [50], который рассматривал случай п = 2 при условии непрерывной продолжаемости на К функции, гармонически сопряженной ки(х).В упомянутых выше результатах гладкость коэффициентов линейного эллиптического уравнения играла существенную роль Она гарантировала совпадение его обобщенных решений с классическими и их принадлежность к рассматриваемому классу функций.Для линейных равномерно эллиптических уравнений с негладкими, в частности, с разрывными коэффициентами, ситуация более сложная, и результаты об устранимых особенностях решений таких уравнений могут существенно отличаться от соответствующих результатов для уравнений с гладкими коэффициентами. Например, легко проверить, что любая не тождественная нулю линейная функция не является обобщенным решением в Ш11 уравнения div(a(x)V/) = 0, где а (ж) = 1 внутри единичного куба Q и ах) = 2 в Шп \ Q. Это означает, что граница единичного куба не является устранимым множеством для обобщенных решений рассматриваемого уравнения в классе бесконечно дифференцируемых функций, в то время как для решений уравнения Лапласа (т.е. для гармонических функций) она устранима уже в классе непрерывно дифференцируемых функций. С другой стороны, Д. Гилбарг и Дж. Серрин [76] установили, что, в отличие от дивергентного случая, решения однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами могут иметь изолированные особенности даже в классах Гельдера.Эти результаты объясняют причину отсутствия метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными коэффициентами: их получение связано как с новыми постановками задач об устранимых особенностях, так и с новыми условиями устранимости.Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка основную массу известных результатов об устранимых особенностях их решений можно условно разделить на две группы. В первой из них, которая восходит к работе Дж. Серрина [109], исследуется связь структурных условий, накладываемых на уравнение, со степенью суммируемости либо допустимым порядком роста его решений вблизи особого множества, достаточных для устранимости этого множества. При этом основное внимание уделялось случаям, когда особое множество является либо изолированной точкой, либо гладким многообразием [109, 118, 45]. Вторую группу образуют результаты, в которых исследуется эффект продолжаемости всех решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка из заданной области без условия их принадлежности к какомулибо функциональному классу [57, 60, 68, 100, 96, 110, 62].Классическим примером такого результата является теорема Л. Берса [60] об отсутствии изолированных особенностей у решений уравнения минимальных поверхностей.Целью настоящей диссертационной работы является получение метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами и для решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.Перейдем к изложению результатов диссертации. Вначале напомним некоторые определения и введем обозначения, которые будут использоваться на протяжении всей работы.Всюду далее, за исключением обозначений пространств непрерывных функций, выражения вида С (а, (3,), Ci(a,/3,), , обозначают действительные неотрицательные величины, зависящие только от а, (3 и т.д., при этом в разных формулах величины с одним и тем же обозначением, вообще говоря, различны между собой.На протяжении всей диссертации мы рассматриваем только измеримые по Лебегу функции, которые в главах 1-3 принимают значения в поле действительных чисел R, а в главе 4 — в поле комплексных чисел Напомним, что под функциональным классом в области G в диссертации понимается произвольное непустое подмножество пространства L(G)\oc функций, локально суммируемых в G. Если в каждой области G С IRn определен некоторый функциональный класс H(G), при этом для произвольной пары областей G\ С Gi С Шп сужение на G\ любой функции из Н(р2) принадлежит классу HG\)) то H(G)\oc обозначает множество всех функций из L(G)\0C) сужение которых на любую подобласть Go (^ G принадлежит классу H(GQ).Если х Е W1 и г > 0, то В(х,г) обозначает открытый евклидов шар с центром в точке х и радиусом г: -В(ж, г) := у Е Шп : \х — у\ 0, g(t) — положительная непрерывная неубывающая функция, определенная при 0 < t < ?0, и пусть Е — множество в W1. Напомним, что (внешней) мерой Хаусдорфа mes^ Е множества Е относительно измеряющей функции д называется конечный или равный оо предел при t —^ 0 величины inf (Yli9(?i))i г Д е точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным наборам открытых шаров B(xi,ri)i с т% 0, то хаусдорфова мера множества Е отосительно измеряющей функции д называется мерой Хаусдорфа порядка а множества Е и обозначается mes^ Е. В главе 1 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в дивергентной форме.Под обобщенным решением уравнения Lf = 0 в области G мы понимаем, как всегда, функцию из Соболевского класса Wl,2(G)\0a удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. По теореме Де Джорджи и Нэша каждая такая функция непрерывна и локально гельдерова в G с некоторым показателем 7, зависящем только от размерности п и постоянной эллиптичности А/,. Множество всех обобщенных решений уравнения Lf = 0 в области G обозначим через AL(G).В принятых обозначениях и при сделанных выше предположениях имеет место следующая Теорема 1.1. Множество Е устранимо для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе W(L, G1 h)\oc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesgE = 0.Во всех последующих теоремах первой главы предполагается, что оператор L не содержит младших членов: п Lf =Y1 di{aij{x)djf).При h(t) = tn/2 a, a > — 1, мы вместо W(L: G, h) будем в дальнейшем писать W^(G).В теореме 1.2 показано, что при 0 < а 0, что для любого шара B(x,r) (Е G выполняется неравенство sup | / — fb,x,r\ < Сга.В(х,г) В следующей теореме К — компакт в G.Отметим (см. [40]), что для оператора Лапласа А класс функций U%(G)i0C совпадает при 0 < а < 2 с классом Aa(G)\oc, поэтому в теореме 1.6 содержатся известные критерии устранимости компактов, установленные в работах Л. Карлесона [64] (0 < а < 1), Е. П.Долженко [8, 9] (1 — 1 установлено включение W^{G)\0C С U]^a(G)\0C, становящееся при а > О равенством функциональных классов W^(G)\0C = U^ a(G)\oc.Следуя М.В.Сафонову [106], мы называем предел такой подпоследовательности слабым решением задачи Дирихле ? / = 0 в (7, / = д на dG. Будем говорить, что оператор ? обладает свойством слабой единственности, если для любой области G с гладкой границей и для любой непрерывной функции д на dG эта задача Дирихле имеет единственное слабое решение.Понятие слабой единственности было введено Крыловым [90], который показал, что если замыкание множества точек разрыва коэффициентов оператора ? не более чем счетно, то этот оператор обладает свойством слабой единственности. Сафонов [107] установил слабую единственность оператора ? в предположении, что множество точек разрыва его коэффициентов замкнуто и имеет достаточно малую хаусдорфову размерность (зависящую от п и As). С другой стороны, Н. Надирашвили [98] показал, что, в отличие от случая п = 2, слабая единственность для оператора ? может нарушаться при п > 3.Пусть G — ограниченная область в Rn, К — компакт в G.Заменяя в определении класса U2(G) из гл. 1 обобщенные решения уравнения Lf = 0 на слабые решения уравнения ?f = О, мы получаем определение функционального класса U^(G).В принятых выше обозначениях сформулируем основной результат второй главы диссертации.Теорема 2.1. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для слабых решений уравнения ? / = 0 в классе U^(G)ioc тогда и только тогда, когда выполнено условие mes^T2 aK = 0.Для оператора Лапласа А функция W/\(x) является, очевидно, неотрицательной и не тождественной нулю гармонической функцией в Rn, и, по односторонней теореме Лиувилля, она есть положительная постоянная. Отсюда следует, что мера mesJ-E совпадает с точностью до постоянного множителя, не зависящего от множества Е С Мп, с мерой mesaE. Поэтому (см. комментарий после формулировки теоремы 1.6) в теореме 2.1 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций [64, 8, 9, 94, 114]. С другой стороны, из теоремы 2.1 вытекает неустранимость изолированной особенности для непрерывных решений недивергентного линейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка в упомянутом выше примере Д. Гилбарга и Дж. Серрина [76] (пример 2.1).В работе П. Бауман [59] было показано, что функция Wz(x) не может обращаться в нуль на множестве положительной лебеговой меры в W1. Отсюда вытекает, что условия meSp/ 2 класс U^{G)\0C содержит только слабые решения уравнения ? / = 0 в области G.В главе 3 рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка.Под решением этого уравнения в области G мы понимаем, как обычно, функцию из W1,p(G)\0Ci удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. Множество всех таких функций обозначим через AP(G), а его элементы будем называть, как обычно, р-гармоническими функциями.Хорошо известно, что каждая р-гармоническая функция принадлежит классу C1'7(Gr)ioc, где 7 ? (О, 1) зависит только от п и р.Если / G W1,p(G)\0Ci то для каждого шара В(х,г) Ш G существует единственная функция fXj1. G W1,p(B(x, г))Г)Ар(В(х, г)), удовлетворяющая условию / — fXfT G WQ,p(B(x,r)) (см. [79]).Отметим, что из доказательства теоремы 3.1 вытекает, что при а > 1 класс Ap(G)ioc совпадает с множеством всех р-гармонических функций в области G.В теореме 3.2 показано, что при всех при р > 2 и a G (0, 1) справедливо включение Cl'a(G)\oc С Ap(G)i0C, которое остается в силе и при 1 < р < 2, если в нем заменить класс C1,a(G)\oc его подклассом, состоящем из функций, имеющих ненулевой градиент всюду в области G. В обратном направлении эта теорема устанавливает, что при всех р Е (1, со) и а ? (0, 7( n :P)) имеет место включение Ap(G)\0C С C1,a(G)\0C.Под решением этого уравнения понимается, как обычно, дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.Пусть, как и выше, G — ограниченная область в ! п , Е — подмножество G, замкнутое относительно этой области. Следующая теорема является основным результатом главы 3.Теорема 3.4. Пусть 0 < а < 1. Множество Е устранимо для решений уравнения минимальных поверхностей в классе C1,a(G)\oc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesn-1 aE = 0.Основную сложность в доказательстве теоремы 3.4 представляет проверка необходимости условия mesn1 Q; Е = 0 для устранимости множества Е. В диссертации она преодолевается при помощи применения теоремы Шаудера о неподвижной точке.В главе 4 рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с гладкими коэффициентами.Пусть Р — линейный дифференциальный оператор порядка т , коэффициенты которого являются т раз непрерывно дифференцируемыми функциями в области G С Жп (принимающими, вообще говоря, комплексные значения). Под слабым решением уравнения Pf = 0 мы понимаем, как обычно, локально суммируемую функцию, удовлетворяющую этому уравнению в смысле распределений по Л. Шварцу.Пусть 1 < р О, / Е L(G)\oc. Для шара В(х, г) <Ш G обозначим E[8](f,x,r) := mi{r-n Г |/(i,) - g{y)\dy : д Е V[a]V k JB{x,r) J где [s] — целая часть s, V[s] — множество всех алгебраических полиномов степени не выше [s] (по совокупности переменных).Классы функций Cp(G)\QC были введенны Р. Шарп л и и Р. ДеВором [108] и независимо Б. Боярским [61]. Позднее X. Трибель [113] показал, что эти классы содержатся в шкале пространств Лизоркина-Трибеля Lspq(G)\0C при q = оо: Csp(G)\0C = LsPiOQ(G)]oc.В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю и научному консультанту профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за многочисленные обсуждения представленных в диссертации результатов и постоянную поддержку в работе.
|