Главная » 2013 » Ноябрь » 1 » Скачать Методы интегрирования дифференциальных уравнений в математическом моделировании в материаловедение бесплатно
11:13
Скачать Методы интегрирования дифференциальных уравнений в математическом моделировании в материаловедение бесплатно
Тема: Методы интегрирования дифференциальных уравнений в математическом моделировании в материаловедение
Тип: Курсовая
Предмет: Моделирование и оптимизация свойств материалов
Объем: 15 стр.
Год: 0
Фрагмент работы
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности)уравнение имеет вид:
При постоянномприобретает вид:
где— концентрация диффундирующего вещества, a— функция, описывающая источники вещества (тепла). В одномерном случаефундаментальное решениеоднородного уравнения с постоянным— не зависящем оти—(при начальном условии, выражаемом дельта функцией и граничном условии), т. е в начальный момент времени теплопроводность зависит от площади соприкосновение, а при бесконечном удалении от источника тепла проводимость равна нулю. Свойства дельта функции:
Для простоты решения будем считать равной нулю. Дифференциальное уравнение теплопроводности
,где Т-теплопроводность. Частное решение этого уравнения в виде будем искать как произведение двух функций:
Тогда после подстановки его в дифференциальное уравнение получим:
Интегрирование уравнения
даст значение для функции:
, т. е. .
Дифференциальное уравнение для функции имеет вид
(*)
Следовательно, функция должна быть такова, чтобы ее вторая производная была равна самой функции, умноженной на некоторую величину . Легко показать, что такими функциями могут быть sinkx или coskx, а именно ;
Таким образом, sinkx и coskx являются частными решениями уравнения (*), причем эти решения линейно независимы, так как
Общее решение уравнения будет суммой частных решений:
,где C и D - произвольные постоянные. Второе частное решение можно было получить зная первое решение , а именно
.
Общее решение будет иметь тот же вид:
,где - произвольная постоянная. Частное решение дифференциального уравнения теплопроводности будет иметь вид
Постоянная k определяется из граничных, а постоянные C и D – из начальных условий; они принимают вполне определенные значения в зависимости от условий задачи. Подробно методика расчета будет изложена при рассмотрении отдельных конкретных задач. Общее решение можно написать так:
Рассмотрим однородную первую начально-краевую(или задача Коши) задачу для уравнения теплопроводности: Зада?ча Коши?— одна из основных задачтеории дифференциальных уравнений(обыкновенныхис частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемымначальным условиям(начальным данным)