| Асимптотика спектра и следы негладких возмущений дифференциальных операторов
Диссертация
Автор: Ахмерова, Эльвира Фангизовна
Название: Асимптотика спектра и следы негладких возмущений дифференциальных операторов
Справка: Ахмерова, Эльвира Фангизовна. Асимптотика спектра и следы негладких возмущений дифференциальных операторов : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 Уфа, 2007 116 c. : 61 07-1/859
Объем: 116 стр.
Информация: Уфа, 2007
Содержание:
1 Асимптотика спектра иегладких возмущепийдифференциальных операторов
11 Постановка задачи
12 Асимтотика спектра обыкновенныхдифференциальных операторов на отрезке
13 Представление ядра резольвенты гармонического осциллятора
14 Асимптотика решений гармонического осциллятора
15 Асимптотика ядер В^ДхЛД) , в;„(х,1Д) , B;(x,tA) , в;(х,1Д) вокрестности собственных значений
16 Асимптотика спектра гармонического осциллятора, возмущенногонегладким потенциалом
2 Формулы следов
21Формула регуляризованного следа типа Крейнадля гармонического осциллятора
22Формула регуляризованного следа типа Гельфанда Левитанадля гармонического осциллятора
23 Формулы регуляризованных следов для обыкновенныхдифференциальных операторов
Введение:
Важным разделом общей спектральной теории операторов является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты полученные вэтой области, находят многочисленные применения при исследовании задачматематической физики. В частности, в задачах квантовой механики часторассматриваются дифференциальные операторы с дискретным спектром, заданные на бесконечном интервале. При этом распределение собственных значений - один из изучаемых вопросов.Изучению дифференциальных онераторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вонроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [1], [2], в которыхбыл рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Многочисленные задачи на определепие эпергетических уровней конкретных коантовомеханических систем явились толчком, спустя столетие, появлению работ поуказанной теме в сингулярном случае (когда не выполняется одно или обаусловия регулярного случая). Начало снектральной теории для сингулярныхоператоров было положено в работах Г. Вейля [3], [4] и в дальпейшем был развит в монографиях Э.Ч. Титчмарша [5], [6]. Им же в [7] внервые была строгообоснована формула раснределения числа собственных значений оператораШтурма-Лиувилля на всей оси. Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша явились нричиной ноявления огромного количества работ, связанных исследованием распределения собственных значений дифферегицтальных операторов сдискретным спектром. В последствии свое развитие получили два основныхметода получения спектра. Первый из них - вариационный припцип, восходящий к работам Г. Вейля и Р. Куранта [8]. В последствии он брял разг5итМ.Ш. Вирманом и его школой (см. обзор [9] ). Преимущество вариационногопринципа в том, что он не столь чувствителеп, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т.д. С другой стороны, он не даетдостаточно точных оценок в асимнтотике собственных чисел. Второй методназывается резольвентным и восходит к работе Т. Карлемана [10]. Он связанс изучением резольвенты рассматриваемо1Ю оператора или другой фуикцииот него с последующим иснользованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральныхасимптотик. К этому методу примыкают предложенный В.Г. Авакумовичемв [И] и Б.М. Левитаном в [12] метод гинерболического уравнения, а такжеметод параболического уравнения, предложенный Минакшисундарамом иА. Плейелем в [13], соответствуюш,их исследуемым операторам. Достаточнополный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальныхоператоров дан в [14], там же можно найти но/фобную библиографию но этойтематике.К настояш,ему времени разработаны достаточно много методов нахожденияасимптотики спектра дифференциальных онераторов, в основном на отрезке.В настоящей работе иснользуется метод, нредложенньн"! МуртазинымХ.Х., основанный на асимптотическом представлении части Rlx,t,X) =EPx,t,X) - (An — \)^Pnx,t) ядра резольвенты ЯРХ) невозмун;енного онератора Н^, где An— собственные значения онератора Н^, Рл— соответствующие проекторы па собственные подпространства. Получена асимптотикаспектра одномерного гармонического осциллятора па всей числовой оси, причем на возмущение V(x) накладываются лишь условия типа суммируемости.Указанный метод также продемонстрирован на примере диффере1иц1алыюго оператора 2п-го порядка, возмуп1,енного диффере1Н],иальным операторампорядка 2п-2 на конечном отрезке. Следует отметить, что данная методика эффективна и нри dim RanP^ > 1, т.е. когда имеется случай кратныхсобственпых значений. В данной диссертации получена асимптотика снектраоператора Штурма-Лиувилля с нериодическими и аптипериодическими граничными условиями. В 1957 году Л.А. Дикий предложил (см. [19]) использовать регуляризованные следы для приближенного вычисления собственных чисел онераторов. Впервые, в 1953 году, формулы регуляризованных следов для классической задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом qx) ? С [^0,7г] при ycJЮвии!q[x)dx = О получили И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан [20]QMn=lгде Цп собственные числа оператора= Ху, у0) = у7г) = 0. Вслед за этой работой появилось много работ по теории регуляризовап1н>1хследов, т.е. по нахождению соотношений видаиК-Ап)) = В, (0.1)пгде Xji— собственные значения оператора Я, а А-) и В— явно вычисляемыечерез параметры краевой задачи выражения. В том же году к аналогичнымрезультатам пришел Л.А.Дикий в работе [21], используя иные методы. Вопросам получению формул регуляризованных следов для сингулярных операторов были посвящепы работы М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана ( см. [22]и указанную там литературу). Формулы следов в этих работах явились следствием асимптотических равепств (с точностью до бесконечно малых членов)для снектральных функций соответствуюн1,их онераторов. Это приводило,нанример, к тому что исследовалась пара сингулярных операторов ШтурмаЛиувилля, отличающихся друг от друга только на финитный потенциал. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных онераторов получены В.В. Лидским и В.А. Садовничим в работе [23], где было установлено, что доказательство формул тина (0.1) для широкого классакраевых задач, норожденных обыкновенными дифференциальиыми выражениями па конечном отрезке со сложным вхождением спектрального нараметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций сонределенной асимптотической структурой. В работе [24] рамки метода В.Б. Лидского, В.А. Садовничего были расширепы. В сингулярном случае возникают трудности нри нрименении метода [231,связанные с отсутствием точных асимнтотических равенств, равномерных поX для фундаментальных систем решений дифференциального уравнения. Вчастности, Б сингулярных задачах Штурма-Лиувилля с неограничеппо растущим потенциалом qx) возможно наличие точки новорота, в которой резкоменяется новеденпе решений уравнения (см. [25]). В этом случае естественным является иснользование методов теории возмун1,ений. В работах М.Г. Крейна, В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского (см. [26]-[29[)нолучены различные результаты методами теории возмун1,ений дискретныхоператоров. Суммирование методом Абеля нрименялось В.В. Лидским [30] в вонросахразложения но собственным функциям некоторых дифференциальных онераторов. Кроме того, такое суммирование также иснользовалось Г.В. Козловыми В.А. Любишкиным в [31] для вычисления следов вида (0.1) онератора= У'О) = = t/("-^)(0) = 0, хе [0; -Ьоо),где QX)— финитная функция, qx) Е Co[0,-foo), а а > 0. Распределениесобственных значений этой задачи изучалось Х.Х. Муртазиным, Т.Г. Амангильдиным в [17] нри п = 1 и Х.К. Ишкиным в [32] при п > 2. Апалогичныйметод использован Е.В. Александровой [18] для задачи Штурма-Лиувилля наполуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора, где возмуп1,ениегладкое но не предполагается финитным. Принципиальным прорывом в теории следов является новый метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактньгх самосонряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный З.Ю. Фазуллиным и Х.Х. Муртазиным. Этими авторами получены формулы регуляризованных следов при более слабых условиях на функцию распределенияспектра невозмущепного оператора в зависимости от возмущения V, чем вовсех известных ранее результатах, предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных (см. работы [33] - [39]). Эта техпика использовапа в данной диссертации для негладких возму1ценийодномерного гармонического осциллятора на всей числовой оси. При этомвозмущение не предполагается финитным. Также получена формула следадифференциального оператора 2п-го порядка Нух) — —у^^''^\х) -\- Ух^]{х)на отрезке [О, тг] с возмущением К(д;) G I'^ [0,7г] нри п> I, п ? N.Для оператора Штурма - Лиувилля значительри:>1м продвижением в этомнаправлении следует отметить результаты работ [16] и [40[. В статье A.M.Савчука, А.А. Шкаликова [40] получена формула формула регулярзованного следа для дифференциального онератора Штурма-Лиувилля на конечномотрезке с сингулярными потенциалами, не являюнщхся локально интегрируемыми функциями( q[x) = и'{х) (равенство в смысле расиределений), и{х) —функция ограниченной вариации на [0,7г].) В работе В.А. Винокурова, В.А. Садовничего [16] получена асимптотика спектра и формула следа на от1)езкедля потенциала, содержан1,его 8— функцию. Достаточно полп1>и"1 обзор различных методов получе1П1я формул регуляризованных следов дан в [41], тамже можно найти подробную библиографию вьнпеуказанных авторов.Так как V{x) не предполагается гладкой, то па фупкцию q{x) = ж^ V{x)мы не можем непосредственно применить технику эталонных решений, использованную в работе [17]. В данной работе используем аппарат теории возмущений [42], основанный на изучении асимнтотического нредставления ядрарезольвенты невозмущенного онератора.Теорема 5. При А ^ 1 функции di{X), d'i{X), d'({X) имеют слсду1()щи.еоценкиТеорема 6. При А >> 1 функции с?2(А), d2{X), ^2'(А) г1меют следуют/исоценкиКак известно, при переходе через точку поворота (см.[25]) резко меняетсяповедение решений уравнения, в следствии чего возникают дополнительные14трудности в их изучении. Исиользоваиие эталонных ренюний, строящихсяс номощью функций Эйри или цилиндрических функций, асимнтотичоскиепредставления которых известны, позволяют обойти эту трудность. Основным результатом этого нараграфа является следующая теорема.Во второй главе изучается вопрос о следах, получены классические формулы типа (0.1) для гармонического осциллятора на всей числовой оси, а такжедля дифференциальных операторов 2п-го порядка на конечном отрезке.Результаты первой главы, в частности асимптотика ядра Я[|(а;,^,Л) вокрестности собственных чисел Л^ позволяют получить формулы регуляризованных следов. Следует отметить, что в этой работе иснользован методпредложенный в работе [35], в частности мы опираемся на следующую лемму.Лемма. Для любого п имеет место тоэюдествогде Еп= t РккОВ одномерном случае эта формула приобретает более нростой видк=0 ^^п lk=Q к=0п п 00Ек=0 к-0т=п 1где через ак обозначено следующее выражение:00Основной результат § 2.1 отражен в следующей теореме.18Теорема 13. Пусть для V{x) выполняются условия теоремы 12. Тогдаряд00п=0сходится (не обязательно абсолютно) и его сумма равна нулю.В § 2.2 получена формула регуляризованпого первого следа.Основные результаты работы опубликованы в [54] - [63].Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителюд.ф.- м.н, профессору Муртазину Хайрулле Хабибулловичу за ностановкузадач и внимание к работе, а также к.ф.- м.н, доценту Ишкину Хабиру Кабировичу, д.ф.- м.н, доценту Фазуллину Зигануру Юсуновичу за обсуждениерезультатов работы и поддержку.
|